by Gọi \(S\) là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của \(m\) sao cho hàm số \(y = {x^4} – 2\left( {m – 1} \right){x^2} + {m^2} – m\) có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông. Tổng tất cả các phần tử của tập \(S\) bằng
A. 2.
B. 1
C. -5.
D. 3.
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị.
– Xác định các điểm cực trị của hàm số.
– Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y’ = 4{x^3} – 4\left( {m – 1} \right)x = 4x\left[ {{x^2} – \left( {m – 1} \right)} \right].\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m – 1\end{array} \right.\)
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y’ = 0\) phải có 3 nghiệm phân biệt.
\( \Rightarrow \) Phương trình \({x^2} = m – 1\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(0\).
\( \Rightarrow m – 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\).
Khi đó ta có \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = {m^2} – m\\x = \sqrt {m – 1} \Rightarrow y = m – 1\\x = – \sqrt {m – 1} \Rightarrow y = m – 1\end{array} \right.\)
Gọi \(A\left( {0;{m^2} – m} \right);\,\,B\left( {\sqrt {m – 1} ;m – 1} \right);\) \(C\left( { – \sqrt {m – 1} ;m – 1} \right)\).
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), do đó để \(ABC\) là tam giác vuông thì phải vuông tại \(A\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt {m – 1} ; – {m^2} + 2m – 1} \right);\,\,\)\(\overrightarrow {AC} = \left( { – \sqrt {m – 1} ; – {m^2} + 2m – 1} \right)\).
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow – \left( {m – 1} \right) + {\left( {m – 1} \right)^4} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m – 1} \right)\left[ {{{\left( {m – 1} \right)}^3} – 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m – 1 = 0\\m – 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ 2 \right\}\) nên tổng các phần tử của \(S\) bằng 2.
Chọn A.
