by Gọi \(M\) và \(m\) là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x – \cos x + 1\). Khi đó, giá trị của tổng \(M + m\) bằng:
A. \(\frac{{25}}{8}\)
B. \(\frac{{25}}{6}\)
C. \(\frac{{25}}{2}\)
D. \(\frac{{25}}{4}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Sử dụng công thức \({\sin ^2}x = 1 – {\cos ^2}x\).
– Đặt ẩn phụ \(t = \cos x\), điều kiện \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\).
– Đưa hàm số về hàm số ẩn \(t\), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\).
– Giải phương trình \(y’ = 0\), xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ { – 1;1} \right]\).
– Tính các giá trị \(y\left( { – 1} \right),\,\,y\left( 1 \right),\,\,y\left( {{x_i}} \right)\).
– Kết luận: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = \min \left\{ {y\left( { – 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( {{x_i}} \right)} \right\}\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = \max \left\{ {y\left( { – 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,y = 2{\sin ^2}x – \cos x + 1\\ \Rightarrow y = 2\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right) – \cos x + 1\\ \Rightarrow y = – 2{\cos ^2}x – \cos x + 3\end{array}\)
Đặt \(\cos x = t\,\,\,\,\left( { – 1 \le t \le 1} \right)\), hàm số trở thành: \(y = – 2{t^2} – t + 3.\)
Ta có: \(y’ = – 4t – 1 = 0 \Rightarrow t = – \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right)\).
Bảng biến thiên:
Từ BBT ta suy ra \(M = \frac{{25}}{8},\,\,m = 0\).
Vậy \(M + m = \frac{{25}}{8}\).
Chọn A.
