by Đồ thị của hàm số \(y = – {x^3} + 3{x^2} + 5\) có hai điểm cực trị \(A\) và \(B\). Tính diện tích \(S\) của tam giác \(OAB\) với \(O\) là gốc tọa độ.
A. \(S = \frac{{10}}{3}\)
B. \(S = 9\)
C. \(S = 5\)
D. \(S = 10\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
– Xác định tọa độ các điểm \(A,\,\,B\).
– Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A,\,\,B\).
– Sử dụng công thức tính diện tích \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}d\left( {O;d} \right).AB\).
Lời giải chi tiết:
TXĐ \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y’ = – 3{x^2} + 6x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 5\\x = 2 \Rightarrow y = 9\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow A\left( {0;5} \right);\,\,B\left( {2;9} \right)\).
Phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và \(B\) là: \(\frac{{x – 0}}{{2 – 0}} = \frac{{y – 5}}{{9 – 5}} \Leftrightarrow 2x – y + 5 = 0\,\,\left( d \right)\).
Ta có: \(d\left( {O;d} \right) = \frac{{\left| 5 \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^3}} }} = \sqrt 5 \) , \(AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \).
Vậy \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}d\left( {O;d} \right).AB\)\( = \frac{1}{2}\sqrt 5 .2\sqrt 5 = 5\).
Chọn C.
