by Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = x\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right); x = – \,2; x = 2\) và trục hoành là \(S = {a \over b},\) với \(a,\,\,b > 0\) và \({a \over b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(P = a – 5b.\)
A. \(P = 5.\)
B. \(P = 0\)
C. \(P = -1\)
D. \(P = 7\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Giải phương trình hoành độ giao điểm, tím các nghiệm thuộc [-2; 2].
Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)
Chia nhỏ tích phân cần tính thành các đoạn mà trên các đoạn đó dấu của f(x) là xác định.
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) với \(Ox\) là \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = – \,1 \hfill \cr x = 0 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right..\)
Vậy diện tích cần tính là
\(\eqalign{ & S = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {x\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \right|\,{\rm{d}}x} = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left| {x\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \right|\,{\rm{d}}x} + \int\limits_{ – 1}^0 {\left| {x\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \right|\,{\rm{d}}x} + \int\limits_0^2 {\left| {x\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \right|\,{\rm{d}}x} \cr & = \left| {\int\limits_{ – \,2}^{ – \,1} {\left( {{x^3} – {x^2} – 2x} \right){\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_{ – \,1}^0 {\left( {{x^3} – {x^2} – 2x} \right){\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^3} – {x^2} – 2x} \right){\rm{d}}x} } \right| \cr & = \left| {\left. {\left( {{{{x^4}} \over 4} – {{{x^3}} \over 3} – {x^2}} \right)} \right|_{ – 2}^{ – 1}} \right| + \left| {\left. {\left( {{{{x^4}} \over 4} – {{{x^3}} \over 3} – {x^2}} \right)} \right|_{ – 1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {{{{x^4}} \over 4} – {{{x^3}} \over 3} – {x^2}} \right)} \right|_0^2} \right| \cr & = \left| { – {5 \over {12}} – {8 \over 3}} \right| + \left| {0 + {5 \over {12}}} \right| + \left| { – {8 \over 3}} \right| = {{37} \over 6} = {a \over b} \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 37 \hfill \cr b = 6 \hfill \cr} \right. \Rightarrow P = 7. \cr} \)
Chọn D.
