by Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}\), \(y=-\,x\) và \(x=4.\) Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục hoành là \(V=\frac{a\pi }{b},\) với \(a,\,\,b>0\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng \(T=a+b.\)
A. \(T=44.\)
B. \(T=36.\)
C. \(T=50.\)
D. \(T=24.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)
Đưa tích phân cần tính về dạng \(V=\frac{a\pi }{b},\) và tìm ra các hệ số a và b, thay vào tính tổng a + b.
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của \(y=\sqrt{x},\,\,y=-\,x\) là \(\sqrt{x}=-\,x\Leftrightarrow x=0.\)
Khi đó, thể tích cần tính là \(V=\pi \int\limits_{0}^{4}{\left| {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-{{\left( -\,x \right)}^{2}} \right|\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{4}{\left| x-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}\)
\(=\pi \int\limits_{1}^{4}{\left| x-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}+\pi \int\limits_{0}^{1}{\left| x-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}=\pi \int\limits_{1}^{4}{\left( {{x}^{2}}-x \right)\text{d}x}+\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( x-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}\)
\( = \pi \left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^4\\_1\end{array} \right. + \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \frac{{41\pi }}{3} = \frac{{a\pi }}{b}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}a = 41\\b = 3\end{array} \right..\)
Vậy \(T=44.\)
Chọn A.
