by Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y=-\,{{x}^{2}}+2x\) và \(y=0\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục Oy là:
A. \(V=\frac{7}{3}\pi .\)
B. \(V=\frac{8}{3}\pi .\)
C. \(V=\frac{10}{3}\pi .\)
D. \(V=\frac{16}{3}\pi .\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Rút hàm số theo biến y, \(x=f\left( y \right);x=g\left( y \right)\).
Giải phương trình tung độ giao điểm để tìm ra các cận y = a và y = b.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn khi xoay quanh trục Oy của hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(x=f\left( y \right),x=g\left( y \right),y=a,y=b\) là \(V=\int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( y \right)-{{g}^{2}}\left( y \right) \right|dy}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(y=-\,{{x}^{2}}+2x\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=1-y\Rightarrow \left[ \begin{align} & \text{ }x=1-\sqrt{1-y} \\ & \text{ }x=1+\sqrt{1-y} \\ \end{align} \right..\)
Xét phương trình tung độ giao điểm \(1-\sqrt{1-y}=1+\sqrt{1-y}\Leftrightarrow \sqrt{1-y}=0\Leftrightarrow y=1\).
Khi đó, thể tích cần tính là \(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left| {{\left( 1+\sqrt{1-y} \right)}^{2}}-{{\left( 1-\sqrt{1-y} \right)}^{2}} \right|\text{d}y}=\left| \pi \int\limits_{0}^{1}{4\sqrt{1-y}\,\text{d}y} \right|\)
Đặt \(\sqrt{1-y}=t\Leftrightarrow 1-y={{t}^{2}}\Leftrightarrow dy=-2tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & y=0\Leftrightarrow t=1 \\ & y=1\Leftrightarrow t=0 \\ \end{align} \right.\)
Khi đó \(V=\left| -\pi \int\limits_{1}^{0}{4t.2tdt} \right|=\left| 8\pi \int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}dt} \right|=\left| 8\left. \pi \frac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1} \right|=\frac{8\pi }{3}\)
Chọn B.
