Để tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{\sin x}}\cos xdx} \) ta chọn cách đặt nào sau đây cho phù hợp ?

Để tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{\sin x}}\cos xdx} \) ta chọn cách đặt nào sau đây cho phù hợp ?

A. Đặt \(t = {e^{\cos x}}\)

B. Đặt \(t = {e^x}\)

C. Đặt \(t = \cos x\)

D. Đặt \(t = \sin x\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

Tính tích phân bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{\sin x}}\cos xdx} = \int\limits_0^1 {{e^t}dt} = \left. {{e^t}} \right|_0^1 = e – 1\).

Chọn D.