by Đặt vào hai đầu đoạn mạch RC nối tiếp một điện áp xoay chiều có tần số f thay đổi được. Khi tần số là ${{f}_{1}}$ hoặc ${{f}_{2}}=3{{f}_{1}}$ thì hệ số công suất tương ứng của đoạn mạch là cosφ$_{1 }$và cosφ$_{2 }$với $\cos {{\varphi }_{2}}=\sqrt{2}\cos {{\varphi }_{1}}. $ Khi tần số là ${{f}_{3}}=\frac{{{f}_{1}}}{\sqrt{2}}$ hệ số công suất của đoạn mạch cosφ$_{3}$ bằng
A. $\frac{\sqrt{7}}{4}$
B. $\frac{\sqrt{7}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Hướng dẫn
Ta có. ${{f}_{2}}=3{{f}_{1}}\Rightarrow {{\omega }_{2}}=3{{\omega }_{1}}\Rightarrow {{Z}_{{{C}_{1}}}}=3{{Z}_{{{C}_{2}}}}$ Mặt khác. $\cos {{\varphi }_{2}}=\sqrt{2}\cos {{\varphi }_{1}}\Leftrightarrow co{{s}^{2}}{{\varphi }_{2}}=2co{{s}^{2}}{{\varphi }_{1}}\Leftrightarrow \frac{1}{co{{s}^{2}}{{\varphi }_{2}}}=\frac{1}{2}. \frac{1}{co{{s}^{2}}{{\varphi }_{1}}}$ $\Rightarrow 1+ta{{n}^{2}}{{\varphi }_{2}}=\frac{1}{2}\left( 1+ta{{n}^{2}}{{\varphi }_{1}} \right)\Leftrightarrow 1+\frac{Z_{{{C}_{2}}}^{2}}{{{R}^{2}}}=\frac{1}{2}\left( 1+\frac{Z_{{{C}_{1}}}^{2}}{{{R}^{2}}} \right)=\frac{1}{2}\left( 1+\frac{9Z_{{{C}_{2}}}^{2}}{{{R}^{2}}} \right)$ $\Rightarrow 0,5=3,5. \frac{Z_{{{C}_{2}}}^{2}}{{{R}^{2}}}\Rightarrow \frac{Z_{{{C}_{2}}}^{2}}{{{R}^{2}}}=\frac{1}{7}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} |ta. n{{\varphi }_{2}}|=\frac{\sqrt{7}}{7} \\ |tan{{\varphi }_{1}}|=\frac{3\sqrt{7}}{7} \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} cos{{\varphi }_{2}}=\frac{\sqrt{14}}{4} \\ cos{{\varphi }_{1}}=\frac{\sqrt{7}}{4} \\ \end{matrix} \right. $ Lại có. ${{f}_{3}}=\frac{{{f}_{1}}}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{\omega }_{3}}=\frac{{{\omega }_{1}}}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{Z}_{{{C}_{1}}}}=\frac{{{Z}_{{{C}_{3}}}}}{\sqrt{2}}$ $\frac{tan{{\varphi }_{3}}}{tan{{\varphi }_{1}}}=\frac{\frac{{{Z}_{{{C}_{3}}}}}{R}}{\frac{{{Z}_{{{C}_{1}}}}}{R}}=\frac{{{Z}_{{{C}_{3}}}}}{{{Z}_{{{C}_{1}}}}}=\sqrt{2}\Rightarrow tan{{\varphi }_{3}}=\sqrt{2}tan{{\varphi }_{1}}=\frac{3\sqrt{14}}{7}$$\Rightarrow cos{{\varphi }_{3}}=\frac{\sqrt{7}}{5}$
