by Dao động của một chất điểm là sự tổng hợp của hai dao động điều hòa với phương trình lần lượt là \({x_1} = 2A\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\) và \({x_2} = 3A\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\). Tại thời điểm mà tỉ số vận tốc và tỉ số li độ của dao động thứ hai so với dao động thứ nhất lần lượt là 1 và -2 thì li độ dao động tổng hợp bằng \(\sqrt {15} \,\,cm\). Tại thời điểm mà tỉ số vận tốc và tỉ số li độ của dao động thứ hai so với dao động thứ nhất lần lượt là -2 và 1 thì li độ dao động tổng hợp của chất điểm có thể bằng
A. \(\sqrt {21} \,cm\)
B. \(2\sqrt {15} \,cm\)
C. \(\sqrt {15} \,cm\)
D. \(2\sqrt {21} \,cm\)
Hướng dẫn
+ Đặt \(a = \cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\) và \(b = \cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right) \Rightarrow \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{3b}}{{2a}}\) và \(\frac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = \frac{{3\sqrt {1 – {b^2}} }}{{2\sqrt {1 – {a^2}} }}\)
+ Tại thời điểm t1 thì: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = 1\\ \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = – 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{3\sqrt {1 – {b^2}} }}{{2\sqrt {1 – {a^2}} }} = 1\\ \frac{{3b}}{{2a}} = – 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = – \frac{{\sqrt {15} }}{6}\\ b = \frac{{2\sqrt {15} }}{9} \end{array} \right.\)
– Dễ thấy a và b trái dấu, để đơn giản chọn \(a 0\)
+ ta có: \(x = {x_1} + {x_2} = A\left( {2a + b} \right) = – 2Aa = \sqrt {15} \Rightarrow A = 3cm\)
+) Tại thời điểm t2 : \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = – 2\\ \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{3\sqrt {1 – {b^2}} }}{{2\sqrt {1 – {a^2}} }} = 2\\ \frac{{3b}}{{2a}} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \pm \frac{{\sqrt {21} }}{6}\\ b = \pm \frac{{21}}{9} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \pm \sqrt {21} \\ {x_2} = \pm \sqrt {21} \end{array} \right.\)
– Vậy li độ tổng hợp tại thời điểm t2 : \(x = {x_1} + {x_2} = \pm \sqrt {21} + \left( { \pm \sqrt {21} } \right) \Rightarrow {x_{\max }} = 2\sqrt {21} \,cm\)
