Công thức nguyên hàm toàn phần tính $I = \int {f(x)dx}$

Ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Ta biến đổi nguyên hàm ban đầu về dạng: $I = \int {f(x)dx = \int {{f_1}(x).{f_2}(x)dx} } .$
• Bước 2: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
  u = {f_1}(x)\\
  dv = {f_2}(x)dx
  \end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
  du = {f’_1}(x)dx\\
  v = \int {{f_2}(x)dx}
  \end{array} \right.$
• Bước 3: Khi đó: $\int {u.dv = u.v – \int {v.du} } .$

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{x.\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx.$

Giải

Viết lại: $I = \int {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} .$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\
dv = \frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}
\end{array} \right.$ $ \to $ $\left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{\frac{{1 + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
v = \sqrt {{x^2} + 1}
\end{array} \right.$

Khi đó: $I = \int {u.dv} $ $= {\sqrt {{x^2} + 1} \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) – \int {dx} }$
${ = \sqrt {{x^2} + 1} \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) – x + C}.$

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm $I = \int {\frac{{\ln \left( {c{\rm{osx}}} \right)}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}}dx} .$

Giải

Ta viết lại: $I = \int {\ln \left( {c{\rm{osx}}} \right).\frac{{dx}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}}} .$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {c{\rm{osx}}} \right)\\
dv = \frac{{dx}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}}
\end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
du = – \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{{\rm{cosx}}}} = – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}\\
{\rm{v = }}\int {\frac{{dx}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}} = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow I = \int {u.dv } $ $= {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}{\rm{.ln}}\left( {{\rm{cosx}}} \right) + \int {{{\tan }^2}xdx} .$

Khi đó: $I = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}{\rm{.ln}}\left( {{\rm{cosx}}} \right) + \int {\left( {\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}} – 1} \right)dx} $ ${ = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}{\rm{.ln}}\left( {{\rm{cosx}}} \right) + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx – x + C}}}.$