by Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { – 2020;2020} \right]\) của tham số m để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x – 3}}{{x – 1}}\) tại hai điểm phân biệt?
A. \(4036\)
B. \(4040\)
C. \(4038\)
D. \(4034\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Tìm TXĐ.
– Xét phương trình hoành độ giao điểm, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn x.
– Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn TXĐ.
– Đối chiếu điều kiện đề bài để tìm các số nguyên m thỏa mãn.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\frac{{2x – 3}}{{x – 1}} = x + m\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x – 3 = \left( {x – 1} \right)\left( {x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 2x – 3 = {x^2} + mx – x – m\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m – 3} \right)x – m + 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Để để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x – 3}}{{x – 1}}\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m – 3} \right)^2} – 4\left( { – m + 3} \right) > 0\\1 + \left( {m – 3} \right).1 – m + 3 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 6m + 9 + 4m – 12 > 0\\1 \ne 0\,\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} – 2m – 3 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < – 1\end{array} \right.\end{array}\)
Kết hợp điều kiện bài toán ta suy ra \(m \in \left[ { – 2020; – 1} \right) \cup \left( {3;2020} \right]\), \(m \in \mathbb{Z}\).
Vậy có 2019 + 2017 = 4036 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
