by Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z+2-i|=2\sqrt{2}\) và \({{(z-1)}^{2}}\) là số thuần ảo?
A. 0
B. 4
C. 3
D. 2
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Gọi số phức cần tìm là \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b\Rightarrow z\).
Số phức \(z=a+bi\) là số thuần ảo nếu \(a=0\).
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(z=a+bi\), ta có \({{(z-1)}^{2}}={{(a+bi-1)}^{2}}={{(a-1)}^{2}}-{{b}^{2}}+2(a-1)bi\).
Từ giả thiết \({{(z-1)}^{2}}\) là số thuần ảo suy ra \({(a – 1)^2} – {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = a – 1}\\{b = 1 – a}\end{array}} \right.\). (1)
Từ giả thiết \(|z+2-i|=2\sqrt{2}\) ta có
\(|a + bi + 2 – i| = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {(a + 2)^2} + {(b – 1)^2} = 8\) (2)
Nếu \(b=a-1\), thay vào (2) có \({{(a+2)}^{2}}+{{(a-2)}^{2}}=8\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+8=8\Leftrightarrow a=0\Rightarrow b=-1\)
Nếu \(b=1-a\), thay vào (2) có \({{(a+2)}^{2}}+{{(-a)}^{2}}=8\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+4a-4=0\) (*). Phương trình có \(\Delta ‘>0\) nên tìm được 2 số phức thỏa mãn.
Mặt khác \(a=0\) không là nghiệm của phương trình (*) nên tìm được 3 số phức.
Chọn C
