by Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + {m^2}} \right|\) có đúng 5 điểm cực trị?
A. \(6\).
B. \(4\).
C. \(5\).
D. \(7\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Đánh giá số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + {m^2}} \right|\) dựa vào hàm số \(y = 3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2}\).
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2}\) có \(f’\left( x \right) = 12{x^3} – 12{x^2} – 24x = 12x\left( {{x^2} – x – 2} \right),\)\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 1\\x = 2\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Nhận xét: Hàm số \(f\left( x \right)\) có 3 cực trị là \(x = – 1,x = 0,x = 2\). Để hàm số \(y = \left| {3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + {m^2}} \right| = \left| {f\left( x \right) + {m^2}} \right|\) có đúng 5 cực trị thì đường thẳng \(y = – {m^2}\) hoặc cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 2 điểm phân biệt, khác các điểm cực trị hoặc cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm cực trị.
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – {m^2} \ge 0\\ – 32 \le – {m^2} \le – 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\\sqrt 5 \le \left| m \right| \le \sqrt {32} \end{array} \right.\)
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;3;4;5; – 3; – 4; – 5} \right\}\): có 7 giá trị thỏa mãn.
Chọn: D.
