Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{3}}+mx-\frac{27}{5{{\left( x+1 \right)}^{5}}}\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\)?

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{3}}+mx-\frac{27}{5{{\left( x+1 \right)}^{5}}}\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\)?

A. 3

B. 5

C. 4

D. 2

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Tính y’, giải phương trình \(y’\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(x\ne -1\)

Ta có: \(y’={{\left( x+1 \right)}^{2}}+m-\frac{27}{5}.\left( -5 \right){{\left( x+1 \right)}^{-6}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+m+\frac{27}{{{\left( x+1 \right)}^{6}}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :

\(\begin{align} {{\left( x+1 \right)}^{2}}+\frac{27}{{{\left( x+1 \right)}^{6}}}=\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+\frac{27}{{{\left( x+1 \right)}^{6}}} \\ \,\ge 4\sqrt[4]{{{\left( \frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{2}} \right)}^{3}}.\frac{27}{{{\left( x+1 \right)}^{6}}}}=4 \\ \Rightarrow y’\ge 4+m \\ \end{align}\)

Để đồ thị hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\Rightarrow y’\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow 4+m\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\ge -4\)

m là số nguyên âm \(\Rightarrow m\in \left\{ -1;-2;-3;-4 \right\}\)

Chọn C.