by Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} – 2m{x^2} + 2\) có ba cực trị \(A,\,\,B,\,\,C\) và ba điểm cực trị này cùng với gốc tọa độ \(O\) thuộc một đường tròn.
A. \(3\)
B. \(2\)
C. \(1\)
D. \(4\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Xác định các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
– Giả sử \(O,\,\,A,\,\,B,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\), chứng minh \(I\) là trung điểm của \(OA\).
– Chứng minh điều kiện để \(O,\,\,A,\,\,B,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn là \(AB \bot OB\).
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(y’ = 4{x^3} – 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\)
Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \({x^2} = m\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Rightarrow m > 0\).
Khi đó \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = \sqrt m \Rightarrow y = – {m^2} + 2\\x = – \sqrt m \Rightarrow y = – {m^2} + 2\end{array} \right.\)
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị
\(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( {\sqrt m ; – {m^2} + 2} \right),\,\,C\left( { – \sqrt m ; – {m^2} + 2} \right)\).
Ta có \(B,\,\,C\) đối xứng qua trục \(Oy\), \(O,\,\,A \in Oy\), do đó \(B,\,\,C\) đối xứng \(OA\).
Giả sử \(O,\,\,A,\,\,B,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\) ta có \(IA = IB = IC = IO\).
\(IB = IC \Rightarrow I\) thuộc trung trực của \(BC \Rightarrow I \in OA\).
\(IO = IA \Rightarrow I\) là trung điểm của \(OA\).
Khi đó ta có \(IB = IA = IO = \frac{1}{2}OA\) \( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông tại \(B\) (Định lí đường trung tuyến).
Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( { – \sqrt m ;{m^2}} \right);\,\,\overrightarrow {BO} = \left( { – \sqrt m ;{m^2} – 2} \right)\).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BO} = 0\\ \Leftrightarrow m + {m^2}\left( {{m^2} – 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {m^4} – 2{m^2} + m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} – 2m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m – 1} \right)\left( {{m^2} + m – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy có 2 giá trị thực của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
