by Cho tứ diện đều $ABCD$ có các cạnh bằng $a$ . Gọi $E$ là trung điểm $AB$ , $F$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $BF=2FC,G$ là điểm thuộc cạnh $CD$ sao cho $CG=2GD$ . Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng $\left( EFG \right)$ với mặt phẳng $\left( ACD \right)$ của hình chóp $ABCD$ theo $a$ .
C. $\frac{\sqrt{19}}{15}a$.
B. $\frac{a\sqrt{141}}{30}$ .
C. $\frac{a\sqrt{34+15\sqrt{3}}}{15}$ .
D. $\frac{a\sqrt{34-15\sqrt{3}}}{15}$.
Hướng dẫn
Đáp án A.
Trong mp $\left( BCD \right)$ , gọi $I=FG\cap BD$ .
Trong mp$\left( ADB \right)$ , gọi $H=IE\cap AD$ .
Khi đó $HG=\left( EFG \right)\cap \left( ACD \right)$ .
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $BCD$ với ba điểm $I,G,F$ thẳng hàng ta có:
$\frac{ID}{IB}.\frac{FB}{FC}.\frac{GC}{GD}=1\Rightarrow \frac{ID}{IB}=\frac{1}{4}$
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABD$ với ba điểm $I,H,E$ thẳng hàng ta có:
$\frac{HD}{HA}.\frac{EA}{EB}.\frac{IB}{ID}=1\Rightarrow \frac{HD}{HA}=\frac{1}{4}\Rightarrow HD=\frac{a}{5}$
Áp dụng định lý cosin vào tam giác $HDG$ ta có:
$H{{G}^{2}}=H{{D}^{2}}+D{{G}^{2}}-2DH.DG.cos{{60}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}}{25}+\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{{{a}^{2}}}{15}=\frac{19{{a}^{2}}}{225}\Rightarrow HG=\frac{\sqrt{19}}{15}a$
