by Cho tứ diện $SABC,E,F$ lần lượt thuộc đoạn $AC,AB.$ Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CF$ . Gọi $D$ là giao điểm của $\left( SAK \right)$ với $BC$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
C. $\frac{AK}{KD}+\frac{BK}{KE}+\frac{CK}{KF}\ge 6$.
B. $\frac{AK}{KD}+\frac{BK}{KE}+\frac{CK}{KF}\le 6$.
C. $\frac{AK}{KD}+\frac{BK}{KE}+\frac{CK}{KF}>6$.
D. $\frac{AK}{KD}+\frac{BK}{KE}+\frac{CK}{KF}<6$.
Hướng dẫn
Đáp án A.
Nếu K trùng với trọng tâm G thì $\frac{AK}{KD}+\frac{BK}{KE}+\frac{CK}{KF}=6$ . Do đó C, D bị loại.
Ta có $\frac{DK}{DA}+\frac{EK}{EB}+\frac{FK}{FC}=\frac{{{S}_{KBC}}}{{{S}_{ABC}}}+\frac{{{S}_{KAC}}}{{{S}_{ABC}}}+\frac{{{S}_{KAB}}}{{{S}_{ABC}}}=1$
Áp dụng định lý bất đẳng thức Cauchy ta có:
$\begin{align}
& \left( \frac{DK}{DA}+\frac{EK}{EB}+\frac{FK}{FC} \right)\left( \frac{DA}{DK}+\frac{EB}{EK}+\frac{FC}{FK} \right)\ge 9 \\
& \Rightarrow \frac{DA}{DK}+\frac{EB}{EK}+\frac{FC}{FK}\ge 9\Rightarrow \frac{AK}{KD}+\frac{BK}{KE}+\frac{CK}{KF}\ge 6 \\
\end{align}$
