by Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ và $P$ là điểm thuộc cạnh $BC$ ($P$ không là trung điểm $BC$ ).
a) Thiết diện của tứ diện bị cắt bởi $\left( MNP \right)$ là:
C. Tam giác
B. Tứ giác
C. Ngũ giác.
D. Lục giác.
b) Gọi $Q$ là giao điểm của $\left( MNP \right)$ với $AD,\,\,I$ là giao điểm của $MN$ với $PQ$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
C. ${{S}_{MNPQ}}=2{{S}_{MPN}}$ .
B. ${{S}_{MNPQ}}=2{{S}_{MPQ}}$.
C. . ${{S}_{MNPQ}}=4{{S}_{MPI}}$
D. ${{S}_{MNPQ}}=4{{S}_{PIN}}$ .
Hướng dẫn
Đáp án B, A.
a)Do tứ diện ABCD có 4 mặt nên thiết diện không thể là ngũ giác hay lục giác. Nó chỉ có thể là tam giác hoặc tứ giác.
Trong mp $\left( ABC \right)$ , gọi $K=MP\cap AC$ (P không phải là trung điểm đoạn BC nên MP cắt AC)
Trong mp$\left( ACD \right)$ , gọi $Q=KN\cap AD$
Do $Q\in KN\subset \left( MNP \right)$ nên $Q=\left( MNP \right)\cap AD$
Ta có: $\left\{ \begin{align}
& \left( MNP \right)\cap \left( ABD \right)=MQ \\
& \left( MNP \right)\cap \left( ABC \right)=MP \\
& \left( MNP \right)\cap \left( BCD \right)=PN \\
& \left( MNP \right)\cap \left( ACD \right)=NQ \\
\end{align} \right.$
Suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác $MPNQ.$
Ta chọn đáp án B.
b)Áp dụng ví dụ 11, do $M,N,P,Q$ đồng phẳng nên $\frac{AM}{BM}.\frac{BP}{CP}.\frac{CN}{DN}.\frac{DQ}{AQ}=1\Rightarrow \frac{BP}{CP}.\frac{DQ}{AQ}=1$
(Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD) . Từ đây suy ra $\frac{BP}{CP}=\frac{AQ}{DQ}.$
Giả sử $\frac{BP}{PC}=k$ . Khi đó ta suy ra $\overrightarrow{BP}=k\overrightarrow{PC},\overrightarrow{AQ}=k\overrightarrow{QD}$
Suy ra $\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AQ}=-k\left( \overrightarrow{CP}+\overrightarrow{QD} \right)\left( 1 \right)$
Do J là trung điểm của PQ.
Ta có: $\left\{ \begin{align}
& \overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PJ} \\
& \overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QJ} \\
\end{align} \right.\Rightarrow 2\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{BP}\left( 2 \right)$
Chứng minh tương tự ta cũng có: $2\overrightarrow{NJ}=\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{DQ}\left( 3 \right)$
Từ (1,2,3) suy ra $\overrightarrow{MJ}=-k\overrightarrow{NJ}$ . Điều này dẫn đến M, N, J thẳng hàng. Như vậy I trùng J.
Điều này suy ra ${{S}_{MNPQ}}=2{{S}_{MPN}}$ .
Chọn đáp án A.
