Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=2a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC,AD$. Biết rằng $MN=a\sqrt{3}.$ Tính góc của $AB$ và $CD$.

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=2a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC,AD$. Biết rằng $MN=a\sqrt{3}.$ Tính góc của $AB$ và $CD$.

C. ${{45}^{0}}.$

B. ${{30}^{0}}$.

C. ${{60}^{0}}$.

D. ${{90}^{0}}$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Ta có $IM=IN=a$.

Áp dụng định lý cosin cho $\Delta IMN$ ta có:

$\cos \widehat{MIN}=\frac{I{{M}^{2}}+I{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2.IM.IN}=\frac{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}{2.a.a}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{MIN}={{120}^{0}}$.

Vì $IM//AB,IN//CD\Rightarrow \widehat{\left( AB,CD \right)}=\widehat{\left( IM,IN \right)}={{180}^{0}}-{{120}^{0}}={{60}^{0}}$.