by Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$. Gọi $M$ là trung điểm $CD$. Tính cosin góc của $AC$ và $BM$.
C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .
B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$.
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Hướng dẫn
Chọn B
Cách 1. Gọi $N$ là trung điểm $AD$ ta có: $MN\text{//}AC$ $\Rightarrow \left( \,\widehat{AC;BM} \right)=\,\left( \,\widehat{MN;BM} \right)$. Ta tính góc$\,\widehat{BMN}$. Ta có: $BM=BN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (trung tuyến tam giác đều).
$MN=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}$.
Áp dụng định lý cosin cho $\Delta BMN$, ta được:
$\cos \,\widehat{BMN}=\frac{B{{M}^{2}}+M{{N}^{2}}-B{{N}^{2}}}{2BM.MN}=\frac{MN}{2BM}=\frac{\sqrt{3}}{6}>0$.
Vậy $\cos \left( \,\widehat{AC;BM} \right)=\frac{\sqrt{3}}{6}.$
Cách 2. $\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BM} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BM} \right|}{\left| \overrightarrow{AC} \right|.\left| \overrightarrow{BM} \right|}=\frac{\left| \overrightarrow{AC}.\left( \overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CB} \right) \right|}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}$
$=\frac{\left| \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} \right|}{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=\frac{\left| a.\frac{a}{2}\cos {{120}^{0}}-a.a.\cos {{120}^{0}} \right|}{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=\frac{\left| -\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{2} \right|}{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{{{a}^{2}}}{4}}{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.
