by Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho \(BH=HG=GC\) . Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F.
a) Tứ giác EFGH là hình gì?
b) Cho \(BC=9cm\) . Tính độ dài các cạnh của tức giác EFGH.
Phương pháp giải:
Phương pháp:
+ Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành thông qua dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
+ Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật thông qua dấu hiệu nhận biết: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
+ Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông thông qua dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại A nên \(\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180{}^\circ -\widehat{A}}{2}=\frac{180{}^\circ -90{}^\circ }{2}=45{}^\circ \) .
Xét tam giác vuông FGC có
\(\begin{align} & \widehat{GFC}=180{}^\circ -\widehat{FGC}-\widehat{C}=180{}^\circ -90{}^\circ -45{}^\circ =45{}^\circ \\ & \Rightarrow \widehat{GFC}=\widehat{C} \\ \end{align}\)
Suy ra \(\Delta FGC\) là tam giác vuông cân tại G\(\Rightarrow FG=GC\) .
Chứng minh tương tự:
Xét tam giác vuông EHB có
\(\begin{align} & \widehat{BEH}=180{}^\circ -\widehat{EHB}-\widehat{B}=180{}^\circ -90{}^\circ -45{}^\circ =45{}^\circ \\ & \Rightarrow \widehat{BEH}=\widehat{B} \\ \end{align}\)
Suy ra tam giác EBH vuông cân tại H \(\Rightarrow EH=HB\) .
Mà \(BH=HG=GC(gt)\) nên \(FG=EH=HG\) .
Lại có: \(\left. \begin{align} & EH\bot BC(gt) \\ & FG\bot BC(gt) \\ \end{align} \right\}\Rightarrow EH\parallel FG\) ( định lí từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác EFGH có:
\(\begin{align} & EH=FG(cmt) \\ & EH\parallel FG(cmt) \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow \) Tứ giác EFGH là hình bình hành(dhnb)
Mà \(\widehat{H}=90{}^\circ \) ( do \(EH\bot BC\) ) nên hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.
Mặt khác \(EH=HG(cmt)\) nên hình chữ nhật EFGH là hình vuông.
b) Ta có: \(HG=\frac{BC}{3}=\frac{9}{3}=3cm\)
Do đó độ dài cạnh hình vuông EFGH là 3cm.
