by Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua I.
a) Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác AKMB là hình gì? Vì sao?
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông?
Phương pháp giải:
+ Chứng minh AKCM là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông.
+ Chứng minh AKCM là hình bình hành dựa vào dấu hiệu tứ giác có một cặp cạnh song song và bằng nhau.
+ Để AMCK là hình vuông ta dựa vào dấu hiệu hình chữ nhật có hai cạnh bên bằng nhau là hình vuông, từ đó suy ra điều kiện của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
a) \(\Delta \)ABC cân tại A có AM là trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao \( \Rightarrow AM \bot BC \Rightarrow \widehat {AMC} = {90^0}.\) (1)
Xét tứ giác AMCK có: AC cắt MK tại I, mà AI = IC, MI = IK (gt)a) ABC cân tại A có AM là trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao (1)
\( \Rightarrow \) Tứ giác AMCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AMCK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).
b) Tứ giác AMCK là hình chữ nhật (c/m a)
\( \Rightarrow \) AK // CM \( \Rightarrow \)AK // BM (3)
mà AK = MC (AMCK là hình chữ nhật) và MC = MB (gt)
\( \Rightarrow \) AK = BM (4)
Từ (3) và (4) Tứ giác AKMB là hình bình hành. (dấu hiệu nhận biết)
c) Để tứ giác AMCK là hình vuông thì AM = MC
Mà AM là đường trung tuyến của tam giác cân ABC
\( \Rightarrow AM = MC = {1 \over 2}BC \Rightarrow \) Tam giác ABC vuông cân tại A.
