by Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ và $M$ là điểm nằm bên trong tam giác $BCD$. Đường thẳng qua $M$ và song song với $GA$ lần lượt cắt các mặt phẳng $\left( ABC \right),\left( ACD \right),\left( ADB \right)$ tại $P,Q,R$.
a/ Khi $M$ di động trong tam giác $BCD$, đại lượng $\frac{MP+MQ+MR}{GA}$ không đổi và bằng:
C. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
b/ Xác định vị trí của $M$ để $MP.MQ.MR$ đạt giá trị lớn nhất?
C. $M$ là trực tâm tam giác $BCD$.
B. $M$ là tâm ngoại tiếp tam giác $BCD$.
C. $M$ là trọng tâm tam giác $BCD$.
D. $M$ là tâm ngoại tiếp tam giác $BCD$.
Hướng dẫn
Đáp án C, C.
a) Trong mặt phẳng $\left( BCD \right)$, gọi $I=MG\cap BC,J=MG\cap CD,K=MG\cap BD$.
Qua $M$ kẻ $Mx\parallel GA$. Trong $\left( AIJ \right):Mx\cap AI=P$(đây chính là giao điểm của $Mx$ với $\left( ABC \right)$)
Tương tự $Mx\cap AK=R,Mx\cap AJ=Q$.
Ta có : $\frac{IM}{IG}=\frac{{{S}_{MIC}}}{{{S}_{GIC}}}=\frac{{{S}_{MIB}}}{{{S}_{GIB}}}=\frac{{{S}_{MIC}}+{{S}_{MIB}}}{{{S}_{GIC}}+{{S}_{GIB}}}=\frac{{{S}_{MBC}}}{{{S}_{GBC}}}=\frac{3{{S}_{MBC}}}{{{S}_{BCD}}}$.
Theo định lý Thalet ta có : $\frac{IM}{IG}=\frac{MP}{GA}$. Do đó : $\frac{MP}{GA}=\frac{3{{S}_{MBC}}}{{{S}_{BCD}}}$.
Chứng minh tương tự ta có : $\frac{MQ}{GA}=\frac{3{{S}_{MCD}}}{{{S}_{BCD}}},\frac{MR}{GA}=\frac{3{{S}_{MBD}}}{{{S}_{BCD}}}\Rightarrow \frac{MP+MQ+MR}{GA}=3$.
Vậy đáp án đúng là C.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : $MP.MQ.MR\le {{\left( \frac{MP+MQ+MR}{3} \right)}^{3}}=G{{A}^{3}}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $MP.MQ.MR$ bằng $G{{A}^{3}}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $MP=MQ=MR$. Điều này xảy ra khi $M$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Vậy đáp án đúng là C.
