by Cho hình chóp $S.ABC$, $M$ là một điểm nằm trong tam giác $ABC$. Các đường thẳng qua $M$ song song với $SA,SB,SC$ cắt các mặt phẳng $\left( SBC \right),\left( SAC \right),\left( SAB \right)$ lần lượt tại ${A}’,{B}’,{C}’$.
a/ $\frac{M{A}’}{SA}+\frac{M{B}’}{SB}+\frac{M{C}’}{SC}$ có giá trị không đổi bằng bao nhiêu khi $M$ di động trong tam giác $ABC$?
C. $\frac{1}{3}$.
B. $\frac{1}{2}$.
C. $1$.
D. $\frac{2}{3}$.
b/ $\frac{M{A}’}{SA}.\frac{M{B}’}{SB}.\frac{M{C}’}{SC}$ nhận giá trị lớn nhất. Khi đó vị trí của $M$ trong tam giác $ABC$ là:
C. Trực tâm $\Delta ABC$.
B. Trọng tâm $\Delta ABC$.
C. Tâm ngoại tiếp $\Delta ABC$.
D. Tâm nội tiếp $\Delta ABC$.
Hướng dẫn
Đáp án C, B.
a) Do $M{A}’\parallel SA$ nên bốn điểm này nằm trong cùng mặt phẳng. Giả sử $E$ là giao điểm của mặt phẳng này với $BC$. Khi đó $A,M,E$ thẳng hàng và ta có: $\frac{M{A}’}{SA}=\frac{ME}{EA}=\frac{{{S}_{MBC}}}{{{S}_{ABC}}}$.
Tương tự ta có: $\frac{M{B}’}{SB}=\frac{{{S}_{MAC}}}{{{S}_{ABC}}},\frac{M{C}’}{SC}=\frac{{{S}_{MAB}}}{{{S}_{ABC}}}$. Vậy $\frac{M{A}’}{SA}+\frac{M{B}’}{SB}+\frac{M{C}’}{SC}=1$. Vậy đáp án đúng là .
b) Ap dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
$\frac{M{A}’}{SA}+\frac{M{B}’}{SB}+\frac{M{C}’}{SC}\ge 3\sqrt[3]{\frac{M{A}’}{SA}.\frac{M{B}’}{SB}.\frac{M{C}’}{SC}}\Rightarrow \frac{M{A}’}{SA}.\frac{M{B}’}{SB}.\frac{M{C}’}{SC}\le \frac{1}{27}$.
Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\frac{M{A}’}{SA}=\frac{M{B}’}{SB}=\frac{M{C}’}{SC}\Rightarrow {{S}_{MAC}}={{S}_{MAB}}={{S}_{MBC}}$.
Điều này chỉ xảy ra khi $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Vậy đáp án đúng là B.
