Cho số phức z thỏa mãn \(\frac{{3 – 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i\), giá trị của \(\left| z \right|\) bằng

Cho số phức z thỏa mãn \(\frac{{3 – 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i\), giá trị của \(\left| z \right|\) bằng

A. \(\sqrt 5 \)

B. \(\sqrt {10} \)

C. \(1\)

D. \(\sqrt 2 \)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

– Áp dụng công thức \(z.\overline z = {\left| z \right|^2}\).

– Quy đồng mẫu tìm số phức \(z\).

– Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{3 – 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i\\ \Leftrightarrow \frac{{3 – 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{z.\overline z }} + 2 + i\\ \Leftrightarrow \frac{{3 – 4i}}{z} = \frac{{2 + 3i}}{z} + 2 + i\\ \Leftrightarrow 3 – 4i = 2 + 3i + \left( {2 + i} \right).z\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right).z = 1 – 7i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 – 7i}}{{2 + i}} = – 1 – 3i\end{array}\)

Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = \sqrt {10} .\)

Chọn B.