by Cho số phức \(z = \frac{{m + 3i}}{{1 – i}},\,\,m \in \mathbb{R}\). Số phức \({\rm{w}} = {z^2}\) có \(\left| {\rm{w}} \right| = 9\) khi các giá trị của \(m\) là:
A. \(m = \pm 1.\)
B. \(m = \pm 2.\)
C. \(m = \pm 3.\)
D. \(m = \pm 4.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
– Tính \(w = {z^2}\) rồi suy ra \(\left| {\rm{w}} \right|\).
– Giải phương trình tìm \(m\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(z = \frac{{m + 3i}}{{1 – i}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow w = {z^2} = {\left( {\frac{{m + 3i}}{{1 – i}}} \right)^2}\\ \Rightarrow w = \frac{{{m^2} + 6mi – 9}}{{ – 2i}} = \frac{{\left( {{m^2} – 9} \right) + 6mi}}{{ – 2i}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {{m^2} – 9} \right)i + 6m{i^2}}}{{ – 2{i^2}}} = \frac{{\left( {{m^2} – 9} \right)i – 6m}}{2}\\ \Rightarrow \left| w \right| = \frac{{\sqrt {{{\left( {{m^2} – 9} \right)}^2} + 36{m^2}} }}{2}\end{array}\)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\left| w \right| = 9 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {{m^2} – 9} \right)}^2} + 36{m^2}} }}{2} = 9\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{m^2} – 9} \right)}^2} + 36{m^2}} = 18\\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} – 9} \right)^2} + 36{m^2} = 324\\ \Leftrightarrow {m^4} + 18{m^2} – 243 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 9\\{m^2} = – 27\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \pm 3\end{array}\)
Vậy \(m = \pm 3\).
Chọn C.
