Cho \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(\left( {{C_1}} \right):\,\,y = {2 \over 3}{x^3} – 3m{x^2} – 2{m^3}\) và \(\left( {{C_2}} \right):\,\,y = – {{{x^3}} \over 3} + m{x^2} – 5{m^2}x.\) Gọi N, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(S\) khi \(m \in \left[ {1;3} \right]\). Tính \(N – n?\)

Cho \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(\left( {{C_1}} \right):\,\,y = {2 \over 3}{x^3} – 3m{x^2} – 2{m^3}\) và \(\left( {{C_2}} \right):\,\,y = – {{{x^3}} \over 3} + m{x^2} – 5{m^2}x.\) Gọi N, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(S\) khi \(m \in \left[ {1;3} \right]\). Tính \(N – n?\)

A. \(N – n = {1 \over {12}}\)

B. \(N – n = {{20} \over 3}\)

C. \(N – n = {{13} \over {12}}\)

D. \(N – n = {{16} \over 3}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm, suy ra các nghiệm \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\).

\( \Rightarrow S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(S\left( m \right)\) trên \(\left[ {1;3} \right]\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\eqalign{ & {2 \over 3}{x^3} – 3m{x^2} – 2{m^3} = – {{{x^3}} \over 3} + m{x^2} – 5{m^2}x \cr & \Leftrightarrow {x^3} – 4m{x^2} + 5{m^2}x – 2{m^3} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x – m} \right)\left( {{x^2} – 3mx + 2{m^2}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {x – m} \right)^2}\left( {x – 2m} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = m \hfill \cr x = 2m \hfill \cr} \right. \cr} \)

\(m \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow m < 2m\) và khi \(x \in \left( {m;2m} \right) \Rightarrow x < 2m \Rightarrow {x^3} – 4m{x^2} + 5{m^2}x – 2{m^3} < 0\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) là:

\(\eqalign{ & S = \int\limits_m^{2m} {\left| {{x^3} – 4m{x^2} + 5{m^2}x – 2{m^3}} \right|dx} = \int\limits_m^{2m} {\left( { – {x^3} + 4m{x^2} – 5{m^2}x + 2{m^3}} \right)dx} \cr & = \left. {\left( { – {{{x^4}} \over 4} + 4m{{{x^3}} \over 3} – 5{m^2}{{{x^2}} \over 2} + 2{m^3}x} \right)} \right|_m^{2m} = {{{m^4}} \over {12}} \cr & m \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow {1 \over {12}} \le S \le {{27} \over 4} \Rightarrow \left\{ \matrix{ N = {{27} \over 4} \hfill \cr n = {1 \over {12}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow N – n = {{20} \over 3}. \cr} \)

Chọn B.