: Cho $n\in \mathbb{N}*$ và ${{(1+x)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Biết rằng tồn tại số nguyên $k$ ($1\le k\le n-1$) sao cho $\frac{{{a}_{k-1}}}{2}=\frac{{{a}_{k}}}{9}=\frac{{{a}_{k+1}}}{24}$. Tính $n=?$.

: Cho $n\in \mathbb{N}*$ và ${{(1+x)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Biết rằng tồn tại số nguyên $k$ ($1\le k\le n-1$) sao cho $\frac{{{a}_{k-1}}}{2}=\frac{{{a}_{k}}}{9}=\frac{{{a}_{k+1}}}{24}$. Tính $n=?$.

C. 10

B. 11

C. 20

D. 22

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: ${{a}_{k}}=C_{n}^{k}$, suy ra hệ $\left\{ \begin{align}

\frac{1}{2}\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{1}{9}\frac{n!}{(n-k)!k!} \\

\frac{1}{9}\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{1}{24}\frac{n!}{(n-k-1)!(k+1)!} \\

\end{align} \right.$\

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

9k=2(n-k+1) \\

24(k+1)=9(n-k) \\

\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

2n-11k=-2 \\

9n-33k=24 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow n=10,k=2$.