. Cho $n$ là số nguyên dương. Gọi ${{a}_{3n-3}}$ là hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}$. Tìm $n$ sao cho ${{a}_{3n-3}}=26n$.

.

Cho $n$ là số nguyên dương. Gọi ${{a}_{3n-3}}$ là hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}$. Tìm $n$ sao cho ${{a}_{3n-3}}=26n$.

C. $n=10$.

B. $n=3$.

C. $n=4$.

D. $n=5$.

Hướng dẫn

Đáp án D

Theo công thức khai triển Newton ta có:

${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}=\left( \sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{x}^{2k}} \right)\left( \sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}}{{x}^{i}}{{2}^{n-i}} \right).$

Số hạng chứa ${{3}^{3n-3}}$tương ứng với cặp $\left( k,i \right)$ thỏa mãn:

$\left\{ \begin{align}

& 2k+i=3n-3 \\

& 0\le k;i\le n \\

\end{align} \right.\Rightarrow \left( k;i \right)\in \left\{ \left( n,n-3 \right);\left( n-1,n-1 \right) \right\}$

Do đó hệ số của ${{3}^{3n-3}}$là: ${{a}_{3n-3}}=C_{n}^{n}{{.2}^{3}}.C_{n}^{n-3}+C_{n}^{n-1}{{.2}^{1}}.C_{n}^{n-1}=8C_{n}^{3}+2{{n}^{2}}=26n$

$\Leftrightarrow 8\frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}+2{{n}^{2}}=26n\Rightarrow 2{{n}^{2}}-3n-35=0\Rightarrow n=5$