by Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp,trong đó L là cuộn dây thuần cảm và có thể thay đổiđược. Đặt vào hai đầu mạch một điện áp có giá trị hiệu dụng U và tần số f không đổi. Điều chỉnh giá trị L để tổng điện áp hiệu dụng URC+UL lớn nhất thì tổng đó bằng 2U và khi đó công suất tiêu thụ của mạch là 210W. Hỏi khi điều chỉnh L để công suất tiêu thụ trong mạch lớn nhất thì công suất lớn nhất đó bằng bao nhiêu
A. 215W
B. 240W
C. 250W
D. 220W
Hướng dẫn
Đặt \(y = U_{RC} + U_L\)
\(\Leftrightarrow y = 1.U_{RC} + 1.U_L \leq \sqrt{(1^2 + 1^2)(U^2_{RC} + U_L^2)}\)
\(\Rightarrow \bigg | \begin{matrix} y_{max} = \sqrt{2 (U^2_{RC} + U_L^2)}\\ U_{RC} = U_L\end{matrix}\) (Bu – nhi – a – cốp xki)
Theo giả thiết: \(y_{max} = 2\sqrt{2}U \Rightarrow 2(u^2_{RC} + U^2_L) = 8U^2 \Leftrightarrow 4U_L^2 = 8U^2 \Rightarrow U_L = U_{RC} = \sqrt{2}U\)
Mặt khác
\(U^2 = U_R^2 + U_C^2 + U_L^2 – 2U_LU_C = 2U_L^2 – 2U_LU_C \Leftrightarrow U^2 = 4U^2 – 2\sqrt{2}U.U_C \Rightarrow U_C = \frac{3U}{2\sqrt{2}}\Rightarrow U_R = \frac{\sqrt{14}}{4}U \Rightarrow cos \varphi = \frac{\sqrt{14}}{4}\)Theo giả thiết \(P = \frac{U^2}{R}cos^2 \varphi = p_{max}. Cos^2 \varphi \Rightarrow p_{max} = \frac{p}{Cos^2 \varphi } = 240 W\)
Cách 2:
Đặt \(Z_L = x, Z_c = y\)
Công suất: \(P = R.I^2 = \frac{RU^2}{R^2 + (x – y)^2} = 210 W\)
Mặt khác: \(f(x) = U_{RC} + U_L = (Z_{RC} + Z_L)I = \frac{U(\sqrt{R^2 + y^2} + x)}{\sqrt{R^2 + x^2 + y^2 – 2xy}}\)lấy đạo hàm f(x) và cho f'(x) = 0 suy ra \(x = \sqrt{R^2 + y^2}\)
Khi đó \(f_{max} = 2\sqrt{2}U\)
nên suy ra
\(y = \frac{3}{4}\sqrt{R^2 + y^2} \Rightarrow y = \frac{3R}{\sqrt{7}}\Rightarrow x = \frac{4R}{\sqrt{7}}\Rightarrow \frac{RU^2}{R^2 + (\frac{4R}{\sqrt{7}} – \frac{3R}{\sqrt{7}})^2} = 210 W \Leftrightarrow \frac{7U^2}{8R} = 210 \Rightarrow P_{max} = \frac{U^2}{R} = 240 W\)
