by Cho mạch điện AB gồm điện trở R , cuộn thuần có độ tự cảm L, tụ có điện dung \(C = 2.10^{-4}/ \pi\), với 2L>R2C. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế \(u = 100 \sqrt{2}cos(\omega t ) (V)\), \(\omega\) thay đổi được. Thay đổi \(\omega\) thì thấy khi \(\omega = \omega _1 = 50 \pi (rad/s)\) thì (UC)Max và khi \(\omega = \omega _2 = 200 \pi (rad/s)\) thì (UC)Max. Tìm R
A. \(100\Omega\)
B. \(50\sqrt{3 }\Omega\)
C. \(25\sqrt{3 }\Omega\)
D. \(25\sqrt{6 }\Omega\)
Hướng dẫn
\(U_c = \frac{U.Zc}{\sqrt{R^2 + (Z_L – Zc)^2}} = \frac{U}{\sqrt{R^2. (w.C)^2 + (w.C)^2 (w.L – \frac{1}{w. C})^2}}\)
Khi thay đổi w để Ucmax \(\Leftrightarrow R^2. (w C)^2 + (w C)^2 (w. L – \frac{1}{wC})^2 min\)
\(\Leftrightarrow R^2. (w C)^2 + (w C)^2 \left \{ (w L)^2 – \frac{2L}{C} + \frac{1}{(w. C)^2} \right \}min\)
\(\Leftrightarrow R^2. (w C)^2 + (w )^4 (LC)^2 – \frac{2L}{C}. (wC)^2 + 1 min\)
\(\Leftrightarrow (w)^4 (LC)^2 – (\frac{2L}{C} – R^2)(wC)^2 + 1 min\)
Hàm số cực tiểu \(x = – \frac{b}{2a} = \frac{(\frac{2L}{C} – R^2). C^2}{2. (LC)^2} = \frac{(\frac{2L}{C} – R^2)}{L^2}\)
\(\Rightarrow w_1 = \sqrt{\frac{\frac{2L}{C} – R^2}{L^2}} \Leftrightarrow 50 \pi = \sqrt{\frac{\frac{2L}{\frac{2.10^{-4}}{\pi}} – R^2}{L^2}} (1)\)
Tương tự khi thay đổi w để ULmax
\(\Rightarrow w_2 = \sqrt{\frac{1}{L – \frac{R^2C}{2}}}\)
Nhận thấy: \(w = \sqrt{w_1. w_2} = 100 \pi \Rightarrow L = \frac{1}{2 \pi}H (2)\)
Từ (1) và (2) => R =25 \(\sqrt{7}\) \(\Omega\)
