Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và CD. Trên đường thẳng DS lấy điểm P sao cho D là trung điểm của SP. Gọi R là giao điểm của SB với mặt phẳng $\left( MNP \right)$ . Tính $\frac{SR}{SB}\,\,?$

Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và CD. Trên đường thẳng DS lấy điểm P sao cho D là trung điểm của SP. Gọi R là giao điểm của SB với mặt phẳng $\left( MNP \right)$ . Tính $\frac{SR}{SB}\,\,?$

C. $\frac{1}{3}$.

B. $\frac{1}{4}$.

C. $\frac{3}{4}$.

D. $\frac{2}{5}$.

Hướng dẫn

Đáp án D.

Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, gọi $I=BD\cap MN,\,O=AC\cap BD$.

Dễ thấy $R$ chính là giao điểm của $IP$ với $SB$.

Do $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ nên $I$ là trung điểm $DO$. Suy ra $\frac{DI}{IB}=\frac{1}{3}$.

Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác $SBD$ ta có:

$\frac{BR}{RS}.\frac{PS}{PD}.\frac{BI}{ID}=1\Rightarrow \frac{BR}{RS}.2.\frac{1}{3}=1\Rightarrow \frac{BR}{RS}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{SR}{SB}=\frac{2}{5}$