by Cho hàm số \(y = {x^4} + \left( {m – 2} \right){x^2} – 2\left( {m + 2} \right)x + m + 5\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Biết rằng mọi đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) đều tiếp xúc nhau tại 1 điểm. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) tại điểm đó?
A. \(y = 0\)
B. \(y = – 4x + 4\)
C. \(y = – 4\)
D. \(y = – 4x – 4\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Tìm điểm cố định mà với mọi giá trị của \(m\) thì đồ thị hàm số luôn đi qua.
– Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm đó.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,y = {x^4} + \left( {m – 2} \right){x^2} – 2\left( {m + 2} \right)x + m + 5\\ \Leftrightarrow y = \left( {{x^4} – 2{x^2} – 4x + 5} \right) + m\left( {{x^2} – 2x + 1} \right)\end{array}\)
Để \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua 1 điểm khi \(m\) thay đổi thì \({x^2} – 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Với \(x = 1\) thì \(y = 0\), suy ra đồ thị hàm số \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua điểm cố định \(A\left( {1;0} \right)\).
Ta có: \(y’ = f’\left( x \right) = 4{x^3} + 2\left( {m – 2} \right)x – 2\left( {m + 2} \right)\).
\( \Rightarrow f’\left( 1 \right) = 4 + 2.\left( {m – 2} \right).1 – 2\left( {m + 2} \right) = 4 + 2m – 4 – 2m – 4 = – 4\)
Suy ra phương trình tiếp tuyến chung của các đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) tại điểm \(A\left( {1;0} \right)\) là:
\(d:y = f’\left( 1 \right)\left( {x – 1} \right) + 0 = – 4\left( {x – 1} \right) = – 4x + 4.\)
Chọn B.
