by Cho hàm số \(y = \frac{{x + b}}{{ax – 2}}\)\(\left( {ab \ne – 2} \right)\). Biết rằng \(a\) và \(b\) là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;\,\, – 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d:\,\,3x + y – 4 = 0\). Khi đó giá trị của \(a – 3b\) bằng:
A. \( – 2\)
B. \(4\)
C. \( – 1\)
D. \(5\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(A\left( {1;\,\, – 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d:\,\,3x + y – 4 = 0\) nên \(y’\left( 1 \right) = – 3\).
– Điểm \(A\left( {1; – 2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nên thay điểm \(A\) vào hàm số.
– Giải hệ 2 phương trình bằng phương pháp thế, tìm \(a,\,\,b\) và tính \(a – 3b\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(y’ = \frac{{ – 2 – ab}}{{{{\left( {ax – 2} \right)}^2}}} \Rightarrow y’\left( 1 \right) = \frac{{ – 2 – ab}}{{{{\left( {a – 2} \right)}^2}}}\).
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:\,\,3x + y – 4 = 0\) nên: \(y’\left( 1 \right) = – 3 \Leftrightarrow \frac{{ – 2 – ab}}{{{{\left( {a – 2} \right)}^2}}} = – 3\).
Mặt khác \(A\left( {1; – 2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( – 2 = \frac{{1 + b}}{{a – 2}}\)\( \Leftrightarrow b = – 2a + 3\).
Khi đó ta có :
\(\begin{array}{l}\frac{{ – 2 – ab}}{{{{\left( {a – 2} \right)}^2}}} = – 3 \Leftrightarrow – 2 – a\left( { – 2a + 3} \right) = – 3{a^2} + 12a – 12\,\,\left( {a \ne 2} \right)\\ \Leftrightarrow 5{a^2} – 15a + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 1\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\).
Với \(a = 1 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow a – 3b = – 2\).
Chọn A.
