Cho hàm số \(y = {x^3} – 3x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Xét các điểm \(A,\,\,B\) thay đổi thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau. Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là giao điểm của các tiếp tuyến tại A và B với trục tung. Có bao nhiêu điểm \(A\) có hoành độ là số nguyên dương sao cho \(EF \le 2020\)?

Cho hàm số \(y = {x^3} – 3x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Xét các điểm \(A,\,\,B\) thay đổi thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau. Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là giao điểm của các tiếp tuyến tại A và B với trục tung. Có bao nhiêu điểm \(A\) có hoành độ là số nguyên dương sao cho \(EF \le 2020\)?

A. \(10\).

B. \(11\).

C. \(8\).

D. \(7\).

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

– Giả sử hoành độ của \(A,\,\,B\) lần lượt là \(a,\,\,b\,\,\left( {a \ne b} \right)\). Dựa vào giả thiết tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau, tức là \(y’\left( a \right) = y’\left( b \right)\), rút \(b\) theo \(a\).

– Viết phương trình tiếp tuyến tại \(A,\,\,B\) theo tham số \(a\).

– Xác định tọa độ các điểm \(E,\,\,F\) theo tham số \(a\).

– Tính \(EF\) theo tham số \(a\), sử dụng giả thiết \(EF \le 2020\) tìm khoảng giá trị của \(a\), từ đó tìm những số nguyên dương \(a\) thỏa mãn điều kiện tìm được.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y’ = 3{x^2} – 3\).

Giả sử hoành độ của \(A,\,\,B\) lần lượt là \(a,\,\,b\,\,\left( {a \ne b} \right)\). Do tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau nên

\(y’\left( a \right) = y’\left( b \right) \Leftrightarrow 3{a^2} – 3 = 3{b^2} – 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a = – b\end{array} \right.\)

Ta có: \(A\left( {a;{a^3} – 3a + 1} \right),\,B\left( { – a; – {a^3} + 3a + 1} \right)\) (\(a \in {\mathbb{N}^*}\)).

+) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) có phương trình:

\(y = \left( {3{a^2} – 3} \right)\left( {x – a} \right) + {a^3} – 3a + 1 \Leftrightarrow y = \left( {3{a^2} – 3} \right)x – 2{a^3} + 1\)

Giao điểm của tiếp tuyến này với \(Oy\)là điểm \(E\left( {0; – 2{a^3} + 1} \right)\).

+) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(B\) có phương trình:

\(y = \left( {3{a^2} – 3} \right)\left( {x + a} \right) – {a^3} + 3a + 1 \Leftrightarrow y = \left( {3{a^2} – 3} \right)x + 2{a^3} + 1\)

Giao điểm của tiếp tuyến này với \(Oy\) là điểm \(F\left( {0;2{a^3} + 1} \right)\).

\( \Rightarrow EF = \left| {4{a^3}} \right| = 4{a^3}\,\, \Rightarrow 4{a^3} < 2020\, \Rightarrow a < \sqrt[3]{{505}} \approx 7,96\)

Mà \(a \in {\mathbb{N}^*}\)\( \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;…;7} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.