by Cho hàm số \(y = \frac{{2x – 2}}{{x – 2}}\) có đồ thị là\(\left( C \right)\), \(M\)là điểm thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\)cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) thỏa mãn \(AB = 2\sqrt 5 \). Gọi \(S\) là tổng các hoành độ của tất cả các điểm \(M\)thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của \(S\).
A. \(6\)
B. \(5\)
C. \(8\)
D. \(7\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
– Tìm 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
– Gọi \(M\left( {m;\,\frac{{2m – 2}}{{m – 2}}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\).
– Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
– Tìm giao điểm \(A,\,\,B\) của tiếp tuyến với 2 đường tiệm cận.
– Tính độ dài đoạn thẳng \(AB:\) \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} – {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} – {y_A}} \right)}^2}} \).
– Giải phương trình tìm \(m\), từ đó tính \(S\).
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là \(x = 2\) và \(y = 2\).
Ta có \(y’ = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\). Gọi \(M\left( {m;\,\frac{{2m – 2}}{{m – 2}}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại \(M\): \(y = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {m – 2} \right)}^2}}}\left( {x – m} \right) + \frac{{2m – 2}}{{m – 2}}\).
Cho \(x = 2 \Rightarrow y = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {m – 2} \right)}^2}}}\left( {2 – m} \right) + \frac{{2m – 2}}{{m – 2}}\)\( \Leftrightarrow y = \frac{2}{{m – 2}} + \frac{{2m – 2}}{{m – 2}} = \frac{{2m}}{{m – 2}}\).
\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(x = 2\) là \(A\left( {2;\,\frac{{2m}}{{m – 2}}} \right)\).
Cho \(y = 2 \Rightarrow \frac{{ – 2}}{{{{\left( {m – 2} \right)}^2}}}\left( {x – m} \right) + \frac{{2m – 2}}{{m – 2}} = 2\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow – 2\left( {x – m} \right) + \left( {2m – 2} \right)\left( {m – 2} \right) = 2{\left( {m – 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow – 2x + 2m + 2{m^2} – 6m + 4 = 2{m^2} – 8m + 8\\ \Leftrightarrow 2x = 4m – 4 \Leftrightarrow x = 2m – 2\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(y = 2\) là \(B\left( {2m – 2;\,2} \right)\).
Ta có: \(AB = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {2m – 4} \right)^2} + {\left( {2 – \frac{{2m}}{{m – 2}}} \right)^2} = 20\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\left( {m – 2} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {m – 2} \right)}^2}}} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {m – 2} \right)^4} – 5{\left( {m – 2} \right)^2} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m – 2} \right)^2} = 1\\{\left( {m – 2} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\\m = 4\\m = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(S = 3 + 1 + 4 + 0 = 8\).
Chọn C.
