Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(7.f\left( {5 – 2\sqrt {1 + 3\cos x} } \right) = 3m – 10\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(7.f\left( {5 – 2\sqrt {1 + 3\cos x} } \right) = 3m – 10\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là:

A. \(10\)

B. \(4\)

C. \(6\)

D. \(5\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

– Đặt ẩn phụ \(t = 5 – 2\sqrt {1 + 3\cos x} \), cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

– Khảo sát hàm số \(t\left( x \right)\), tìm khoảng giá trị của \(t\) và xét xem ứng với mỗi giá trị \(t\) thuộc những khoảng nào thì cho bao nhiêu giá trị \(x\).

– Dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( t \right)\) trên khoảng tìm được, tìm điều kiện của \(m\) để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 5 – 2\sqrt {1 + 3\cos x} \), phương trình trở thành \(7f\left( t \right) = 3m – 10 \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{{3m – 10}}{7}\,\,\,\left( * \right)\).

Ta có \(t’\left( x \right) = – 2.\frac{{ – 3\sin x}}{{2\sqrt {1 + 3\cos x} }} = \frac{{3\sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}\).

Cho \(t’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \), mà \(x \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) nên \(x = 0\).

BBT:

\( \Rightarrow t \in \left[ {1;3} \right]\) và với mỗi giá trị \(t \in \left( {1;3} \right]\) cho hai nghiệm \(x\), với \(t = 1\) cho 1 nghiệm \(x = 0\).

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất \(t \in \left( {1;3} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)\) trên \(\left( {1;3} \right]\), phương trình (*) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 2 < \frac{{3m – 10}}{7} \le 0\\\frac{{3m – 10}}{7} = – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – \frac{4}{3} < m \le \frac{{10}}{3}\\m = – 6\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { – 1;0;1;2;3; – 6} \right\}\).

Vậy có \(6\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.