by Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = m{x^4} + 2{x^2} – 1\) với \(m\) là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc khoảng \(\left( { – 2019;2020} \right)\) sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)?
A. \(4\)
B. \(2016\)
C. \(2024\)
D. \(4037\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
– Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m > g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) \( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( x \right)\).
– Tìm GTNN của hàm số \(g\left( x \right)\) bằng phương pháp hàm số hoặc đánh giá.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(y’ = 4m{x^3} + 4x\).
Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì \(y’ > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
\( \Rightarrow 4m{x^3} + 4x > 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
\( \Rightarrow 4m{x^3} > – 4x\,\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) \( \Leftrightarrow m > \frac{{ – 1}}{{{x^2}}}\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{1}{2}} \right]} \left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\).
Ta có: \(0 < x \le \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow 0 < {x^2} \le \frac{1}{4}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{x^2}}} \ge 4 \Leftrightarrow – \frac{1}{{{x^2}}} \le – 4\,\,\forall \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{1}{2}} \right]} \left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = – 4\) , suy ra \(m \ge – 4\).
Kết hợp điều kiện \(m \in \left( { – 2019;2020} \right)\), \(m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 4 \le m < 2020\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { – 4; – 3; – 2;…;2019} \right\}\).
Vậy có 2024 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
