by Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\left| {\frac{{3\sin x – \cos x – 1}}{{2\cos x – \sin x + 4}}} \right|} \right) = f\left( {{m^2} + 4m + 4} \right)\) có nghiệm?
A. \(4\).
B. \(5\).
C. Vô số.
D. \(3\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
+ Đặt \(\frac{{3\sin x – \cos x – 1}}{{2\cos x – \sin x + 4}} = t\), biến đổi đưa về dạng \(a\sin x + b\cos x = c\), phương trình này có nghiệm khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\) từ đó ta tìm ra được điều kiện của \(t.\)
+ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định điều kiện nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = f\left( {\left| t \right|} \right)\)
Từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý rằng nếu hàm \(f\left( t \right)\) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\) thì phương trình \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow u = v.\)
Lời giải chi tiết:
Vì \( – 1 \le \sin x \le 1; – 1 \le \cos x \le 1\) nên \(2\cos x – \sin x > – 3 \Rightarrow 2\cos x – \sin x + 4 > 0\)
Đặt \(\frac{{3\sin x – \cos x – 1}}{{2\cos x – \sin x + 4}} = t \Leftrightarrow 3\sin x – \cos x – 1 = t\left( {2\cos x – \sin x + 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow \cos x\left( {2t + 1} \right) – \sin x\left( {t + 3} \right) = – 4t – 1\)
Phương trình trên có nghiệm khi \({\left( {2t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 3} \right)^2} \ge {\left( { – 4t – 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 5{t^2} + 10t + 10 \ge 16{t^2} + 8t + 1\) \( \Leftrightarrow 11{t^2} – 2t – 9 \le 0 \Leftrightarrow – \frac{9}{{11}} \le t \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| t \right| \le 1\)
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\)
Nên phương trình \(f\left( x \right) = f\left( {\left| t \right|} \right)\) với \(t \in \left[ {0;1} \right]\) có nghiệm duy nhất khi \(x = \left| t \right| \Rightarrow x \ge 0\)
Do đó phương trình \(f\left( {\left| {\frac{{3\sin x – \cos x – 1}}{{2\cos x – \sin x + 4}}} \right|} \right) = f\left( {{m^2} + m + 4} \right)\) có nghiệm
\( \Leftrightarrow \left| t \right| = {m^2} + 4m + 4\) có nghiệm với \(0 \le \left| t \right| \le 1\)
\( \Leftrightarrow 0 \le {m^2} + 4m + 4 \le 1 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} \le 1 \Leftrightarrow – 3 \le m \le – 1\)
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { – 3; – 2; – 1} \right\}\). Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu.
Chọn D.
