Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau : Hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^3} – 3.{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau :

Hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^3} – 3.{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. \(\left( {3;4} \right)\)

B. \(\left( { – \infty ;1} \right)\)

C. \(\left( {2;3} \right)\)

D. \(\left( {1;2} \right)\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp tính \(y’\).

+) Lấy \({x_0}\) thuộc từng khoảng đáp án, kiểm tra \(y’\left( {{x_0}} \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(y’ = 3{f^2}\left( x \right)f’\left( x \right) – 6f\left( x \right)f’\left( x \right) = 3f\left( x \right)f’\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) – 2} \right]\)

Với \(x = 2,5 \Rightarrow y’\left( {2,5} \right) = 3f\left( {2,5} \right)f’\left( {2,5} \right)\left[ {f\left( {2,5} \right) – 2} \right]\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}1 < f\left( {2,5} \right) < 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {2,5} \right) > 0\\f\left( {2,5} \right) – 2 < 0\end{array} \right.\\f’\left( {2,5} \right) > 0\end{array} \right. \Rightarrow y’\left( {2,5} \right) < 0 \Rightarrow \)Loại các đáp án A, B và D.

Chọn C.