Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_0^7 {f\left( x \right)dx} = 10\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 6\). Tính \(I = \int\limits_{ – 2}^3 {f\left| {3 – 2x} \right|dx} \).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_0^7 {f\left( x \right)dx} = 10\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 6\). Tính \(I = \int\limits_{ – 2}^3 {f\left| {3 – 2x} \right|dx} \).

A. \(16\)

B. \(3\)

C. \(15\)

D. \(8\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

– Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến, đặt \(t = 3 – 2x\).

– Sử dụng tính chất: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \), chia cận phù hợp để phá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 3 – 2x \Rightarrow dt = – 2dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 2 \Rightarrow t = 7\\x = 3 \Rightarrow t = – 3\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = – \frac{1}{2}\int\limits_7^{ – 3} {f\left( {\left| t \right|} \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_{ – 3}^7 {f\left( {\left| t \right|} \right)dt} \\\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_{ – 3}^0 {f\left( { – t} \right)dt} + \int\limits_0^7 {f\left( t \right)dt} } \right)\\\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( { – \int\limits_3^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^7 {f\left( x \right)dx} } \right)\\\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^7 {f\left( x \right)dx} } \right)\\\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {6 + 10} \right) = 8\end{array}\).

Chọn D.