by Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R}\), \(c \ne 0\) có đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(3\). Giá trị của \(f\left( { – 2} \right)\) bằng:
A. \( – 3\)
B. \( – 5\)
C. \( – 2\)
D. \( – 1\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Dựa vào dấu \(f’\left( x \right)\) xác định GTLN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;2} \right]\).
– Dựa vào TXĐ của hàm số \(y = f’\left( x \right)\) và điểm đi qua \(\left( {0; – 3} \right)\), biểu diễn 3 trong 4 ẩn \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) theo ẩn còn lại.
– Tính \(f\left( { – 2} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f’\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}\), do đó \(f’\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {1;2} \right)\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow \frac{{2a + b}}{{2c + d}} = 3\).
Ta có: \(f’\left( x \right) = \frac{{ad – bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\} \Rightarrow \) \( – c + d = 0 \Leftrightarrow c = d\).
Đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {0; – 3} \right)\) \( \Rightarrow \frac{{ad – bc}}{{{d^2}}} = – 3\).
\( \Rightarrow \frac{{ad – bd}}{{{d^2}}} = – 3 \Leftrightarrow a – b = – 3d = – 3c\).
Lại có \(\frac{{2a + b}}{{2c + d}} = 3 \Leftrightarrow \frac{{2a + b}}{{2c + c}} = 3\) \( \Leftrightarrow 2a + b = 9c\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a – b = – 3c\\2a + b = 9c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2c\\b = 5c\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y = \frac{{2cx + 5c}}{{cx + c}}\).
Vậy \(y\left( { – 2} \right) = \frac{{ – 4c + 5c}}{{ – 2c + c}} = – 1\).
Chọn D.
