by Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Gọi \(k,\,\,K\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( { – 2x} \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;\,\,\frac{1}{2}} \right].\)Giá trị của \(k + K\) bằng:
A. \(4\)
B. \(0\)
C. \(\frac{{19}}{8}\)
D. \( – 4\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( { – 2x} \right)\).
– Giải phương trình \(g’\left( x \right) = 0\), xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ { – 1;\frac{1}{2}} \right]\).
– Tính các giá trị \(g\left( { – 1} \right),\,\,g\left( {\frac{1}{2}} \right),\,\,g\left( {{x_i}} \right)\) và kết luận GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ { – 1;\frac{1}{2}} \right]\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( { – 2x} \right)\) ta có \(g’\left( x \right) = – 2f’\left( { – 2x} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị \(x = – 1,\,\,x = 0,\,\,x = 2\).
\( \Rightarrow g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( { – 2x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 2x = – 1\\ – 2x = 0\\ – 2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2} \in \left[ { – 1;\frac{1}{2}} \right]\\x = 0 \in \left[ { – 1;\frac{1}{2}} \right]\\x = – 1 \in \left[ { – 1;\frac{1}{2}} \right]\end{array} \right.\).
Ta có \(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = f\left( { – 1} \right) \in \left( { – \frac{{13}}{8};0} \right)\), \(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 0\), \(g\left( { – 1} \right) = f\left( 2 \right) = – 4\).
\( \Rightarrow k = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;\frac{1}{2}} \right]} g\left( x \right) = – 4,\,\,K = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;\frac{1}{2}} \right]} g\left( x \right) = 0\).
Vậy \(k + K = – 4 + 0 = – 4.\)
Chọn D.
