Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(\int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {{e^x} + 1} \right)dx = 5} \) và \(\int\limits_2^3 {\frac{{\left( {2x – 3} \right)f\left( x \right)}}{{x – 1}}dx} = 3\). Tính \(I = \int\limits_2^3 {f\left( x \right)} dx\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(\int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {{e^x} + 1} \right)dx = 5} \) và \(\int\limits_2^3 {\frac{{\left( {2x – 3} \right)f\left( x \right)}}{{x – 1}}dx} = 3\). Tính \(I = \int\limits_2^3 {f\left( x \right)} dx\).

A. \(I = 2\).

B. \(I = 4\).

C. \(I = – 2\)

D. \(I = 8\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = {e^x} + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {e^x} + 1 \Rightarrow dt = {e^x}dx \Rightarrow \frac{{dt}}{{t – 1}} = dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = \ln 2 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {{e^x} + 1} \right)dx = } \int\limits_2^3 {\frac{{f\left( t \right)dt}}{{t – 1}} = } \,5 \Rightarrow \int\limits_2^3 {\frac{{f\left( x \right)dx}}{{x – 1}} = } \,5\)

Ta có:

\(\int\limits_2^3 {\frac{{\left( {2x – 3} \right)f\left( x \right)}}{{x – 1}}dx} = 3 \Leftrightarrow \int\limits_2^3 {\left( {2f\left( x \right) – \frac{{f\left( x \right)}}{{x – 1}}} \right)dx} = 3 \Leftrightarrow 2\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx – \int\limits_2^3 {\frac{{f\left( x \right)}}{{x – 1}}dx} } = 3\)\( \Leftrightarrow 2\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx – 5} = 3 \Leftrightarrow \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = 4\)\( \Rightarrow I = 4\).

Chọn: B