by Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx = \frac{a}{4} – 4\ln \frac{4}{b}} ,\) với \(a,b\) là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^2}\) bằng
A. \(25.\)
B. \(41.\)
C. \(20.\)
D. \(34.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Phân tích biểu thức dưới dấu tích phân về tổng, hiệu các hàm phân thức cơ bản rồi sử dụng công thức tích phân cơ bản.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\left[ {1 – \frac{{4x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]dx} \) \( = \left. x \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {\frac{{4x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = 1 – J\)
Với \(J = \int\limits_0^1 {\frac{{4x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\frac{{4x + 12 – 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{4}{{x + 3}} – \frac{3}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]dx} \) \( = 4.\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{x + 3}}} – 3.\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \)
\( = 4\int\limits_0^1 {\frac{{d\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}}} – 3.\int\limits_0^1 {\frac{{d\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \) \( = \left. {\left( {4\ln \left| {x + 3} \right| + \frac{3}{{x + 3}}} \right)} \right|_0^1\) \( = 4\ln 4 + \frac{3}{4} – 4\ln 3 – 1 = 4\ln \frac{4}{3} – \frac{1}{4}\)
Do đó \(I = 1 – J = 1 – \left( {4\ln \frac{4}{3} – \frac{1}{4}} \right) = \frac{5}{4} – 4\ln \frac{4}{3}\)\( \Rightarrow a = 5,b = 3\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {5^2} + {3^2} = 34\).
Chọn D.
