by Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(3xf\left( {{x^2}} \right) – f\left( x \right) = 9{x^3} – 1\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).
A. \(\frac{5}{2}\).
B. \(\frac{5}{4}\).
C. \(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{1}{8}\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp tích phân 2 vế.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(3xf\left( {{x^2}} \right) – f\left( x \right) = 9{x^3} – 1\), (\(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\))
\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {3xf\left( {{x^2}} \right) – f\left( x \right)} \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left( {9{x^3} – 1} \right)} dx \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {xf\left( {{x^2}} \right)} dx – \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \left. {\left( {\frac{9}{4}{x^4} – x} \right)} \right|_0^1\)
\( \Leftrightarrow \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {{x^2}} \right)} d\left( {{x^2}} \right) – \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{5}{4} \Leftrightarrow \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)} dt – \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{5}{4},\,\,\left( {t = {x^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx – \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{5}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{5}{4} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{5}{2}\).
Chọn: A
