Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = \left( {{x^2} + x} \right)\left( {{x^2} – 3x – 4} \right)\). Gọi \(T\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 6x + 2m} \right)\) có đúng 5 cực trị. Tính tổng \(S\) các phần tử của tập hợp \(T\), biết \(m \in \left( { – 19;20} \right]\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = \left( {{x^2} + x} \right)\left( {{x^2} – 3x – 4} \right)\). Gọi \(T\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 6x + 2m} \right)\) có đúng 5 cực trị. Tính tổng \(S\) các phần tử của tập hợp \(T\), biết \(m \in \left( { – 19;20} \right]\).

A. \(S = 200\)

B. \(S = – 161\)

C. \(S = 189\)

D. \(S = 150\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

– Tính đạo hàm của hàm số \(g\left( x \right)\).

– Tìm điều kiện để phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}x\left( {x – 4} \right)\).

Xét hàm số \(y = g\left( x \right)\) có: \(g’\left( x \right) = \left( {2x – 6} \right)f’\left( {{x^2} – 6x + 2m} \right)\).

\( \Rightarrow g’\left( x \right) = \left( {2x – 6} \right){\left( {{x^2} – 6x + 2m + 1} \right)^2}\left( {{x^2} – 6x + 2m} \right)\left( {{x^2} – 6x + 2m – 4} \right)\)

\(g’\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\{x^2} – 6x + 2m = 0\\{x^2} – 6x + 2m = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\{x^2} – 6x + 2m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} – 6x + 2m – 4 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) .

(Ta không xét phương trình \({x^2} – 6x + 2m = – 1\) vì qua các nghiệm của phương trình này \(g’\left( x \right)\) không đổi dấu).

Để hàm số \(y = g\left( x \right)\) có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình (1) và (2), mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 3.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta {‘_1} = 9 – 2m > 0\\{\Delta _2}’ = 9 – 2m + 4 > 0\\ – 9 + 2m \ne 0\\ – 8 + 2m – 4 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{9}{2}\\m < \frac{{13}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{9}{2}\).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left( { – 19;\frac{9}{2}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow T = \left\{ { – 18; – 17;…;3;4} \right\}\).

Vậy \(S = \left( { – 18} \right) + \left( { – 17} \right) + … + \left( { – 1} \right) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4\)

\(S = – \frac{{18.19}}{2} + \frac{{4.5}}{2} = – 161\).

Chọn B.