by Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{{5\pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right]\) của phương trình \(3f\left( {\frac{{\sin x – \cos x}}{{\sqrt 2 }}} \right) – 7 = 0\) là:
A. \(6\)
B. \(3\)
C. \(5\)
D. \(4\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
– Sử dụng biến đổi: \(\sin x – \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\).
– Đặt ẩn phụ \(t = \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\), tìm khoảng giá trị của \(t\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).
– Dựa vào BBT xác định số nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện.
– Lập BBT hoặc vẽ đồ thị hàm số \(t = \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\) trên \(\left[ { – \frac{{5\pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right]\), với mỗi giá trị \(t\) tìm số nghiệm \(x\) tương ứng.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(3f\left( {\frac{{\sin x – \cos x}}{{\sqrt 2 }}} \right) – 7 = 0\) \( \Leftrightarrow f\left( {\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = \frac{7}{3}\).
Đặt \(t = \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\) .
Với \(x \in \left[ { – \frac{{5\pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right]\) \( \Rightarrow x – \frac{\pi }{4} \in \left[ { – \frac{{3\pi }}{2};\pi } \right]\) \( \Rightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { – 1;1} \right]\) \( \Rightarrow t \in \left[ { – 1;1} \right]\).
Phương trình trở thành \(f\left( t \right) = \frac{7}{3}\,\,\,\left( * \right),\,\,t \in \left[ { – 1;1} \right]\).
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{7}{3}\). Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {t_1} \in \left( { – \infty ; – 1} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\\t = {t_2} \in \left( { – 1;0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_3} \in \left( {0;1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_4} \in \left( {1; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).
Ta có đồ thị hàm số \(t = \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\) trên đoạn \(\left[ { – \frac{{5\pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right]\) như sau:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
+ Phương trình \(t = {t_2} \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_2}\) có 2 nghiệm phân biệt.
+ Phương trình \(t = {t_3} \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_3}\) có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình ban đầu có 5 nghiệm phân biệt.
Chọn C.
