by Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) khác \(0\) thỏa mãn \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) là số thuần ảo và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 10\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) bằng
A. \(10\)
B. \(10\sqrt 2 \)
C. \(10\sqrt 3 \)
D. \(20\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Viết \({z_1} = ki{z_2}\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\), thay vào đẳng thúc bài cho tìm \(\left| {{z_2}} \right|,\left| {{z_1}} \right|\) theo \(k\).
– Tìm GTLN của \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có : \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) là số thuần ảo nên ta viết lại \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = ki \Leftrightarrow {z_1} = ki{z_2}\)
Khi đó \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {ki{z_2} – {z_2}} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {{z_2}\left( { – 1 + ki} \right)} \right| = 10\) \( \Leftrightarrow \left| {{z_2}} \right| = \frac{{10}}{{\left| { – 1 + ki} \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\)
\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {ki} \right|.\left| {{z_2}} \right| = \left| k \right|.\frac{{10}}{{{k^2} + 1}}\) \( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \frac{{10\left| k \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} + \frac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = \frac{{10\left( {\left| k \right| + 1} \right)}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\)
Xét \(y = f\left( t \right) = \frac{{10\left( {t + 1} \right)}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) \( \Rightarrow 10\left( {t + 1} \right) = y\sqrt {{t^2} + 1} \Leftrightarrow 100{\left( {t + 1} \right)^2} = {y^2}\left( {{t^2} + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow 100\left( {{t^2} + 2t + 1} \right) = {y^2}{t^2} + {y^2} \Leftrightarrow \left( {{y^2} – 100} \right){t^2} – 200t + {y^2} – 100 = 0\)
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ‘ = {100^2} – {\left( {{y^2} – 100} \right)^2} = {y^2}\left( {200 – {y^2}} \right) \ge 0\) \( \Leftrightarrow – 10\sqrt 2 \le y \le 10\sqrt 2 \)
Vậy \(\max y = 10\sqrt 2 \) khi \(t = 1\) hay \(k = \pm 1\).
Chọn B.
