Cho \(\frac{{3z – 4y}}{5} = \frac{{5y – 3x}}{4} = \frac{{4x – 5z}}{3}\) và \({x^2} – {z^2} = 36\). Hãy tìm \(x,y,z\).

Cho \(\frac{{3z – 4y}}{5} = \frac{{5y – 3x}}{4} = \frac{{4x – 5z}}{3}\) và \({x^2} – {z^2} = 36\). Hãy tìm \(x,y,z\).

A. \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {10;6;8} \right),\left( { – 10; – 6; – 8} \right)} \right\}\).

B. \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {12;6;8} \right),\left( { – 12; – 6; – 8} \right)} \right\}\).

C. \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {10;9;8} \right),\left( { – 10; – 9; – 8} \right)} \right\}\).

D. \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {10;6;5} \right),\left( { – 10; – 6; – 5} \right)} \right\}\).

Hướng dẫn

Chọn đáp án là: A

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đầu tiên với \(5\), phân thức thứ hai với \(4\) và phân thức thứ ba với \(3\).

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau suy ra dãy tỉ số mới.

Ta có :

\(\frac{{3z – 4y}}{5} = \frac{{5y – 3x}}{4} = \frac{{4x – 5z}}{3}\).

\( \Rightarrow \frac{{5\left( {3z – 4y} \right)}}{{5.5}} = \frac{{4.\left( {5y – 3x} \right)}}{{4.4}} = \frac{{3\left( {4x – 5z} \right)}}{{3.3}}\)

\( \Rightarrow \frac{{15z – 20y}}{{25}} = \frac{{20y – 12x}}{{16}} = \frac{{12x – 15z}}{9}\)

\( = \frac{{15z – 20y + 20y – 12x + 12x – 15z}}{{25 + 16 + 9}}\) \( = 0\)

Suy ra \(15z – 20y = 0 \Rightarrow 15z = 20y\) \( \Rightarrow \frac{z}{4} = \frac{y}{3}\)

\(20y – 12x = 0\) \( \Rightarrow 20y = 12x \Rightarrow \frac{y}{3} = \frac{x}{5}\)

Suy ra \(\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5k\\y = 3k\\z = 4k\end{array} \right.\)

Mà \({x^2} – {z^2} = 36\) nên \({\left( {5k} \right)^2} – {\left( {4k} \right)^2} = 36\)

\(\begin{array}{l}25{k^2} – 16{k^2} = 36\\9{k^2} = 36\\{k^2} = 4\\k = \pm 2\end{array}\)

Nếu \(k = 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5.2 = 10\\y = 3.2 = 6\\z = 4.2 = 8\end{array} \right.\)

Nếu \(k = – 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5.\left( { – 2} \right) = – 10\\y = 3.\left( { – 2} \right) = – 6\\z = 4.\left( { – 2} \right) = – 8\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {10;6;8} \right),\left( { – 10; – 6; – 8} \right)} \right\}\).

Chọn A